Sınıf:8

Ãœnite:3

Konu: Aritmetik dizi ve geometrik dizi

Konuya başlamadan önce bazı bilgileri vermekte fayda var.

Aritmetik dendiğinde: Toplama işlemi aklımıza gelir.

Geometrik dendiğinde ise: Çarpma işlemi aklımıza gelir.

Åžimdi konumuza baÅŸlayabiliriz.


Geçen senelerde de olduğu gibi bize bazı örüntüler verilir ve bizden sonraki sayıyı bulmamızı veya bu dizilişin kuralını bulmamız ister.

Aritmetik Dizi:

Tanım: Elimizde bir sayı olsun, bu sayıya belirli bir kuralla sayılar ekleniyor veya çıkartılıyorsa buna aritmetik dizi adı verilir. Zaten toplama iÅŸlemi bize “aritmetik” kelimesini hatırlatır

Örnek:

Sayımızın kuralı: 5 ten sürekli olarak 2 çıkartılması olsun.

Örüntü şu şekilde devam eder:

5 5-3 5-(3+3) 5-(3+3+3) ……… 5-(n-1).3

1. terim 2. terim 3. terim 4. terim …….. n. terim

Görüldüğü gibi her terimde 5 sayısı sabit. Bu deÄŸiÅŸmeyen sabit terime, yani ilk terime “a1″ diyoruz.

Dikkat edersen her terimde; terim sayısının 1 eksiği 3 bulunmakta. Yani 2. terimde 1 tane 3, 3. terimdw 2 tane 3.

Son terime n. terim dersek ( n-1 ) tane 3 bulunur.

Bu yüzden yukarıdaki örüntünün kuralı şudur.

an= 5-(n-1).3

5 yerine de ilk terim anlamına gelen a1 yazarsak

an=a1-(n-1).3 olarak formül üretilir.

Burada an bize genel terimi, örüntünün formülünü verir.

Tekrar yukarıya bakıp terimlerin sonucunu bulursak;

5 3 1 -1 -3 …. ÅŸeklinde devam eder.

Her ardışık iki terima rasındaki fark bu soru için 2 dir.

Buna “dizinin ortak farkı” denir.

Geometrik Dizi:

Tanım: Elimizde bir sayı olsun, bu sayıyı belirli bir kuralla sayılar bölüyor veya çarpıyorsa buna geometrik dizi adı verilir. Zaten çarpma iÅŸlemi bize “geometrik” kelimesini hatırlatır.

Örnek:

5 sayısını sürekli olarak 2 ile bölelim. ( Yani 1/2 ile çarpalım )

yukarıda çarpma işlemi yapıldığı için bu bir geometrik dizidir.

Gördüğünüz gibi her terimde; terim sayısının bir eksiği kadar 1/2 vardır.

son terime n. terim dersek; son terimde (n-1) tane 1/2 vardır. Çarpma işlemi olduğu için (n-1) üsse yazılır.

ilk sayıya, yani 5 e a1 dersek;

Dizinin kuralı yukarıdaki resimdeki gibi bulunur.

Yine Aritmetik dizide olduğu gibi; ardışık terimler arasında bir kural bulunur. Aritmetik ortalamada aradaki farklar sabitti;

burada ise aradaki oranlar sabittir. Yani ardışık terimleri birbirine böldüğümüzde herzaman sabit bir sayı çıkar.

Buna; “dizinin ortak çarpanı” denir.

Bu ortak çarpan sürekli çarpılan sayı veya bölünen sayıdır. Yani yukarıdaki soru için ortak çarpan ( 1/2 ) dir.

ispatlarsak.

Yukarıdaki 2. terimde sonuç 5/2 dir.

3. terimde sonuç 5/4 tür.

Birbirine bölersek

(5/2):(5/4)=(5/2).(4/5) =4/2=2 olarak sonuç bulunur.

Yani; sürekli bölünen sayı 2 dir.

NOT:

Aritmetik dizide ve geometrik dizide terimlerin birbiriyle iliÅŸkisi vardır. Bu iliÅŸkiye “dizinin kuralı” denir.

Dizinin kuralı “n. terim” ile yazılır. Yani bu terime “Genel terim” de denir.

Daha önceden denklem kurarken x kullanıyorduk. Sebep sayının değerini bilmediğimiz için idi.

Şimdi de bunun gibi genel bir formül üretiyoruz.

Bunu ise “n” ile yapıyoruz.

Toplam 27408, bugün 14